Расчеты на прочность при растяжении (сжатии)

Вопрос о назначении размеров стержня, который будет надежно работать под нагрузкой, является главным в сопротивлении материалов. Так как проблема экономии материалов при полной гарантии прочности и жесткости конфигурации сейчас является одной из основных.

Для решения указанных задач существует три метода расчета:

1. Расчет по разрушающим нагрузкам.

2. Расчет по допускаемым напряжениям.

3. Расчет по предельным состояниям.

1. Метод разрушающих нагрузок

Этот метод предусматривает определение минимальной нагрузки, которая разрушает конструкцию с тем, чтобы сравнить эту нагрузку с предполагаемой для конструкции. Условие прочности записывается:

, (2.13)

— минимальная нагрузка, разрушающая конструкцию

>1 — коэффициент запаса прочности

— максимальное значение нагрузки на сооружение, которая не должна превышать допустимую.

2. Метод допускаемых напряжений

По методу допускаемых напряжений нужно, чтобы наибольшее напряжение в стержне не превосходило некоторого допускаемого напряжения .

При растяжении . (2.14)

Допускаемое напряжение , где — опасное напряжение.

Для пластичных материалов .

Для хрупких материалов .

Очевидно, что коэффициент запаса , т.к. при появлении пластичной деформации стержень еще не разрушается.

Необходимость введения коэффициента запаса прочности связана также со следующими обстоятельствами:

а) разбросом экспериментальных данных при определении и ,

б) невозможностью точно установить действительное напряжение,

в) неточностью изготовленных деталей.

Необходимо учитывать также следующие факторы:

1) степень однородности материала (например, для стали , для бетона , камня ),

2) долговечность и значимость сооружения. Для сооружения, рассчитанного на 100 лет, коэффициент запаса должен быть больше, чем на 5 лет,

3) технологией изготовления деталей.

3. Метод предельных состояний

Одним коэффициентом запаса трудно учесть многочисленные факторы, которые для различных сооружений могут проявляться в разных сочетаниях. Для более полного учета влияния различных факторов строительные конструкции в настоящее время рассчитываются по более прогрессивному методу предельных состояний. Предельным состоянием называется такое состояние конструкции, при котором она перестает удовлетворять заданным эксплуатационным требованиям.

Строительные нормы и правила (СНиП) разделяют предельные состояния на две группы.

Первая группа — по потере несущей способности (вследствие разрушения) или непригодности к эксплуатации (вследствие текучести материала, сдвигов в соединениях).

Вторая группа — по непригодности к нормальной эксплуатации

(вследствие недопустимых колебаний, трещин, перемещений).

Классификация принята по признаку их ответственности по степени потери эксплуатационной способности.

Рассмотрим расчет конструкций по первой группе.

Проверка прочности производится по формуле расчетного напряжения

, (2.15)

— расчетное сопротивление материала — сопротивление, принимаемое при расчете данной конструкции ,

— нормативное сопротивление материала,

— коэффициент безопасности по материалу.

Расчет на прочность: при растяжении, кручении и изгибе.

Эта статья будет посвящена расчетам на прочность, которые выполняются в сопромате и не только. Расчеты на прочность бывают двух видов: проверочные и проектировочные (проектные).

Проверочные расчеты на прочность — это такие расчеты, в ходе которых проверятся прочность элемента заданной формы и размеров, под некоторой нагрузкой.

В ходе проектировочных расчетов на прочность определяются какие-то размеры элемента из условия прочности. Причем, очевидно, что для разных видов деформаций эти условия прочности различны. Также к проектным расчетам можно отнести расчеты на грузоподъемность, когда вычисляется максимальная нагрузка, которую может выдерживать конструкция, не разрушаясь. Рассмотрим более подробно, как проводится прочностные расчеты для разных случаев.

Начнем, пожалуй, с самого простого вида деформации растяжения (сжатия). Напряжение при центральном растяжении (сжатии) можно получить, разделив продольную силу на площадь поперечного сечения, а условие прочности выглядит вот так:

где сигма в квадратных скобках — это допустимое напряжение. Которое можно получить, разделив предельное напряжения на коэффициент запаса прочности:

Причем, за предельное напряжение для разных материалов принимают разное значение. Для пластичных материалов, например, для малоуглеродистой стали (Ст2, Ст3) принимают предел текучести, а для хрупких (бетон, чугун) берут в качестве предельного напряжения — предел прочности (временное сопротивление). Эти характеристики получают при испытании образцов на растяжение или сжатие на специальных машинах, которые фиксируют характеристики в виде диаграммы.

Коэффициент запаса прочности выбирается конструктором исходя из своего личного опыта, назначения проектируемой детали и сферы применения. Обычно, он варьируется от 2 до 6.

В случае если необходимо подобрать размеры сечения, площадь выражают таким образом:

Таким образом, минимальная площадь поперечного сечения при центральном растяжении (сжатии) будет равна отношению продольно силы к допустимому напряжению.

Расчеты на прочность при кручении

При кручении расчеты на прочность в принципе схожи с теми, что проводятся при растяжении. Только здесь вместо нормальных напряжений появляются касательные напряжения.

На кручение работают, чаще всего, детали, которые называются валами. Их назначение заключается в передаче крутящего момента от одного элемента к другому. При этом вал по всей длине имеет круглое поперечное сечение. Условие прочности для круглого поперечного сечения можно записать так:

где Ip — полярный момент сопротивления, ρ — радиус круга. Причем по этой формуле можно определить касательное напряжение в любой точке сечения, варьируя значение ρ. Касательные напряжения распределены неравномерно по сечению, их максимальное значение находится в наиболее удаленных точках сечения:

Условие прочности, можно записать несколько проще, используя такую геометрическую характеристику как момент сопротивления:

То бишь максимальные касательные напряжения равны отношению крутящего момента к полярному моменту сопротивления и должны быть меньше либо равны допустимому напряжению. Геометрические характеристики для круга, упомянутые выше можно найти вот так:

Иногда в задачах встречаются и прямоугольные сечения, для которых момент сопротивления определяется несколько сложнее, но об этом я расскажу в другой статье.

Расчеты на прочность при изгибе

—

.

, . . . .. 1955 .

, , .

: ; . , .. . , .

, , : , , , , .

. (). n≥1, .

, , . , P=nP.

n>1, , .

, .. n<1, . , n=0,8.</p>

, , .

R, . () σT σ. .

γ>1. . , γ =1,0251,15; γ =1,31,5.

, , :

; R .

, , γ. , , , (γ<1), (γ>1). R. γ=1 .

, γ≤1. , .

, , nc, . , , .

( ) :

N — , ( ); S — , ( — , ).

N, () , :

— .

, () () ()

, , . , . — . . , . , , , . , , , — , .

— , . , , .

, , , , . , , n — .

: , ; , , . , , , . . .

, , , . (). , , p ypy-cc, p p.

, , , , . .

, . . , , , .

, , , — , .

.

, , .

— , , .

, :

, , , .

, ,

. . (20.2) :

(20.2) (20.3) :

, , , . , , , , .. .

— . , , . , .

, , — — , .

. , . , , , 30 — 40 , .

. .

, .., .

— , .

, , .. .

, , .. , , .

.

. — . . , — , , — , : -, , -, .

.

, . , , ,

, , , ..

(10.18) (10.19) (20.4) :

:

.

, (20.6), .

, :

.

. 20.1

(. 20.1), , , ..

— . (20.9) .

— . , .

, , , , e , , . , .

, μ = 0,5.

,

(20.4) (20.7), , , (20.9) . , .. .

, (10.18)-(10.19) :

, :

, .. , . , .

.

—

, , . .

1.

, , , — , l, , , (.20.2, ). .

.

P, 1, 2, 3 , .

.

: . :

. 20.2

N1, N2 N3 . , , (.20.1, ), :

(20.12) (20.13) :

: P, , , (.20.2, ). (20.13) , :

(20.12), :

, :

: P, , (.20.2, ). , (20.14), :

(20.12), , :

— : , .. (.20.2, ). (20.12), :

:

fi P .

, :

, :

, , :

. 20.3

f P .20.3. , , , . , , f , .. .

, , , . , .

2.

(.20.4, ) , (.20.4, ), : α = 30; l = 1,0 ; = 2∙10-4 2 — ; E = 2∙108 /2 — ; = 2,5∙105/2 — ; = 3,9∙105 /2 — ; = 0,02 — , :

1. P = P1, .

2. P = P2, .

3. P = P3, , , .. P .

4. (. 20.4, ) , , P = P4, , .

.

1. P = P1, . (.20.4, ) . (.20.4, ) , :

. 20.4

, .20.4, , , :

, , , .. , :

(20.23) (20.21) (20.22) N1 N2:

:

:

, . , , , .. , , .

(20.25), P = P1, :

:

:

2. P = P2, . , , .. , , :

, (.20.4, ).

, :

, , .. , , — .

, P = P2 , , :

(20.22) (20.26) , , :

(20.21) P = P2:

3. P = P3, , , .. P . , , .

, :

, (, ) . , , :

P = P3, .. (20.21) :

, P = P1 = 119,5 , — P = P3 = 200,97 .

, , .. P £ P1, P = P1 = 119,5 .

, , .. P = P3 = 200,97 .

:

:

4. (.20.4, ) , , P = P4, , . , . , , :

, , . N1, P = P1, :

, P > P1 = 86,6 , . , P = P2, . .. , :

, .

, , . , P = P1 = 86,6 . — , , P = P2 = = 135,1 , .. 1,56 , .

, , , , 200,96/135=1,49

3.

Fu , .20.5. = 2900 /2.

.

1 (. 20.5, ),

mm (. 20.5, ):

, 2,

kk (.20.5, ):

,

Fu1 = 9743 Fu2 = 8886 ,

:

4.

1 = 4 2, 2 = 3 2, 3= 2 2, = 285 .

Fu (. 20.6, ).

.

, :

— . .

. 2 3, 1 (. 20.6, ). , N1. :

. 1 3, 2 (.20.6, ). , 2. :

2 (.20.6, ), , 1 , 3 (.20.6, ). , Nu3= 0, .. , , .

. 1 2, 3 (.20.6, ). , 3. :

Fu1, Fu2, Fu3:

, (. 20.7).

, (. 20.7) ,

Wp,pl ,

D d

.

5.

d= 5 , , u (.20.8, ). , =150 .

.20.8

.

u,

II IIII(. 20.8, ). Mu Tu, , Mu. :

Mu = 2Tu.

Mu = 2Tu =2∙4,91= 9,82 .

() . , :

z; Wz,pl .

, (. 20.9, , ):

Mu (. 20.9, ). Mu , .

, .

. , .

6.

, q= 20 /, l= 3 . , Ry= 240 , γc = 1, , q, . Ryn = 285 . .

.

:

:

16 Wz = 109 3 z = = 62,3 3.

, , n = Mu / Mmax = 35,51/22,5 = 1,58.

, q=20 / 1,58 , .

7.

, P, . (.20.10), , , .

, :

:

W — . b, h — (.20.10, ).

. 20.10

, (.20.10, ) , , :

, , P=P, (20.30), . , , , .. , . , (.20.10, ).

, . , (.20.11). , , .. . , , .

. 20.11

:

:

.

, , ,

, , .

20.1 .

20.1

.

, , , , .. , .. .

, .. . n n + 1 . .

, (.20.12), .

. 20.12

— .

, . : , , , .

, , , , . , .

, , , .

, — , .. .

8.

(.20.13, ) . . .20.13, , . .

. 20.13

, , , , . , :

,

, ,

, . , . , . , . . , (.20.14, ). , .

. 20.14

, D, , . , , .

, .. , , , .

, , .20.14, , :

, :

:

:

n — .

, , :

(20.36) (20.37), , 117/64≈1,83 , , , .

, , (.20.15, ).

. 20.15

, …

, , , .

, . .. . , .. .

, . . .

, , , . . , , , .

.

, , (.20.15, ):

, , (.20.15, ):

, , (.20.15, ):

, , :

, .

, (20.38)-(20.39), , , .. :

— . .20.16. :

, :

. 20.16

(20.41), (20.42), :

(20.43) (20.39), , .

9.

(.20.17, ) P , , b×h.

.

.

. .

.20.17, . .20.17, .20.17, X = 1 P. , :

:

:

. 20.17

, (.20.17, ). , 1,

, P=P:

, 1 2 P X :

, :

, , , : ; ; , (20.45) :

:

, (20.44) (20.46), :

,

.. 1,69 , .

10.

(. 20.18, ). Fu, = 285 .

.

( ), :

, , (. 20.18, ). . . .

. , l1 = 3 (. 20.18, ).

(. 20.18, ):

(. 20.18, ):

Fu1 VB1:

Fu1 :

l3 = 3 (. 20.18, ).

(. 20.18, ):

(. 20.18, ):

Fu2 VB2:

Fu2:

Fu1 Fu2, , ,

11.

, (. 20.19). = 285 . =. Fu.

10 , . , . W F :

W=F∆ W=MΘ, (20.47)

∆ , F; Θ .

.

. :

, (. 20.19, ):

;

(. 20.19, ) :

.

(20.48):

Fu1 (.20.19, ):

, 10.

. (. 20.19, ).

:

.20.19,

(. 20.19, )

, , (20.49)

Fu2:

: Fu= min{Fu1, Fu2}= min{95; 95}= 95 .

— .

— .

— ?

— , ?

— (, )?

— ?

— .

— ?

— . ?

— ?

— ? ?

— σadm?

— ?

— ?

— ?

— ?

— C .

— .

— ?

— , :

) ;

) ;

) .

— .

— , .

— .

— .

— .

— ?

— ?

— , ?

— ?

— ?

— ?

— ?

— ?

— ?

— ?

: [email protected]

: , 450071, ., 21

Техническая механика

Сопротивление материалов

Решение задач на растяжение и сжатие

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

В результате проведения механических испытаний устанавливают предельные напряжения, при которых происходит нарушение работы или разрушение деталей конструкции.

Предельным напряжением при статической нагрузке для пластичных материалов является предел текучести, для хрупких — предел прочности.

Для обеспечения прочности деталей необходимо, чтобы возникающие в них в процессе эксплуатации наибольшие напряжения были меньше предельных.

Отношение предельного напряжения к напряжению, возникающему в процессе работы детали, называют коэффициентом запаса прочности и обозначают буквой s:

s = σпред / σ,

где σ = N / А — реальное напряжение, возникающее в элементе конструкции.

Недостаточный коэффициент запаса прочности может привести к потере работоспособности конструкции, а избыточный (слишком высокий) — к перерасходу материала и утяжелению конструкции. Минимально необходимый коэффициент запаса прочности называют допускаемым, и обозначают [s].

Отношение предельного напряжения к допускаемому запасу прочности называют допускаемым напряжением, и обозначают [σ]:

[σ] = σпред / [s].

Условие прочности в деталях и конструкциях заключается в том, что наибольшее возникающее в ней напряжение (рабочее напряжение) не должно превышать допускаемого:

σmax≤ [σ], или в другом виде: s ≥ [s].

Если допускаемые напряжения при растяжении и сжатии различны, их обозначают [σр] и [σс].

Расчетная формула при растяжении и сжатии имеет вид:

σ = N / А ≤ [σ]

и читается следующим образом: нормальное напряжение в опасном сечении, вычисленное по формуле σ = N /А, не должно превышать допустимое.

На практике расчеты на прочность проводят для решения задач:

— проектный расчет, при котором определяются минимальные размеры опасного сечения;

— проверочный расчет, при котором определяется рабочее напряжение и сравнивается с предельно допустимым;

-определение допускаемой нагрузки при заданных размерах опасного сечения.

***

Растяжение под действием собственного веса

Если ось бруса вертикальна, то его собственный вес вызывает деформацию растяжения или сжатия.

Рассмотрим брус постоянного сечения весом G, длиной l, закрепленный верхним концом и нагруженный только собственным весом G (рис.1).

Для определения напряжений в поперечном сечении на переменном расстоянии z от нижнего конца применим метод сечений.

Рассмотрим равновесие нижней части бруса и составим уравнение равновесия:

Σ Z = 0; Nz — Gz = 0, откуда:

Nz = Gz = γ А z,

где γ — удельный вес материала бруса, А — площадь его поперечного сечения, z — длина части бруса от свободного конца до рассматриваемого сечения.

Напряжения, возникающие в сечениях бруса, нагруженного собственным весом, определяются по формуле:

σz = Nz / А = γ А z / А = γ z,

т. е. для нагруженного собственным весом бруса нормальное напряжение не зависит от площади поперечного сечения. Очевидно, что опасное сечение будет находиться в заделке:

σmax = γ l.

Эпюра распределения напряжений вдоль оси бруса представляет собой треугольник.

Если требуется определить максимальную длину бруса, нагруженного собственным весом, используют расчет по предельному допустимому напряжению в сечении:

lпр = [σ] / γ.

***

Статически неопределимые задачи

Иногда в практике расчета конструкций требуется определить неизвестные силовые факторы (например, реакции связей или внутренние силы), при этом количество неизвестных силовых факторов превышает количество возможных уравнений равновесия для данной конструкции, и расчет произвести рассмотренными ранее способами не представляется возможным.

Задачи на расчет конструкций, в которых внутренние силовые факторы не могут быть определены с помощью одних лишь уравнений равновесия статики, называют статически неопределимыми. Подобные задачи нередко встречаются при расчете конструкций, подверженных температурным деформациям.

Для решения таких задач помимо уравнений равновесия составляют уравнение перемещений или деформаций.

Рассмотрим невесомый стержень постоянного сечения площадью А, длиной l, жестко защемленный по концам (см. рис. 2).

При нагревании в стержне возникают температурные напряжения сжатия.

Попробуем определить эти напряжения.

Составим для стержня уравнение равновесия:

Σ Z = 0; RС — RВ = 0,

откуда следует, что реакции RС и RВ равны между собой, а применив метод сечений установим, что продольная сила N в сечениях стержня равна неизвестным реакциям:

N = RС = RВ.

Составим дополнительное уравнение, для чего мысленно отбросим правую заделку и заменим ее реакцией RВ, тогда дополнительное уравнение деформации будет иметь вид:

Δlt = ΔlСВ

т. е. температурное удлинение стержня равно его укорочению под действием реакции RB, так как связи предполагаются абсолютно жесткими.

Температурное удлинение стержня определяется по формуле: Δlt = αtl, где α — коэффициент линейного расширения стержня.

Укорочение стержня под действием реакции: ΔlСВ = RB l / (EА).

Приравняв правые части равенств, получим:

αtl = RB l / (EА), откуда RB = αtEА.

Температурные напряжения в реальных конструкциях могут достигать значительных величин. Чтобы исключить их отрицательное влияние на прочность конструкций, прибегают к различным методам. Мосты, например, закрепляют лишь на одном конце (на одном берегу), а второй конец оставляют подвижным.

В длинных трубопроводах, подверженных температурным напряжениям, делают компенсирующие карманы, петли и т. д.

***

Материалы раздела «Растяжение и сжатие»:

• Примеры решения задач по сопромату.
• Основные понятия о деформации растяжения и сжатия.
• Деформации при растяжении и сжатии. Потенциальная энергия деформации растяжения.

Срез

Правильные ответы на вопросы Теста № 6

№ вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Правильный вариант ответа	2	1	1	3	3	2	1	3	2	1

Литература:

1. Bangun H., Aulia F., Arianto A., Nainggolan M. Preparation of mucoadhesive gastroretentive drug delivery system of alginate beads containing turmeric extract and anti-gastric ulcer activity. Asian Journal of Pharmaceutical and Clinical Research. 2019; 12(1):316–320. DOI: 10.22159/ajpcr.2019.v12i1.29715.
2. Киржанова Е. А., Хуторянский В. В., Балабушевич Н. Г., Харенко А. В., Демина Н. Б. Методы анализа мукоадгезии: от фундаментальных исследований к практическому применению в разработке лекарственных форм. Разработка и регистрация лекарственных средств. 2014; 3(8): 66–80. DOI: 10.33380/2305-2066-2019-8-4-27-31.
3. М.П. Киселева, З.С. Шпрах, Л.М. Борисова и др. Доклиническое изучение противоопухолевой активности производного N-гликозида индолокарбазола ЛХС-1208. Сообщение I // Российский биотерапевтический журнал. 2015. № 2. С. 71-77.
4. https://studopedia.ru/2_61508_rascheti-na-prochnost-pri-rastyazhenii-szhatii.html.
5. https://ssopromat.ru/prochnost/raschetyi-na-prochnost/.
6. https://www.soprotmat.ru/predel.htm.
7. https://k-a-t.ru/tex_mex/1-sopromat_rastyajen3/index.shtml.
8. М.П. Киселева, З.С. Шпрах, Л.М. Борисова и др. Доклиническое изучение противоопухолевой активности производного N-гликозида индолокарбазола ЛХС-1208. Сообщение I // Российский биотерапевтический журнал. 2015. № 2. С. 71-77.
9. Мирский, «Хирургия от древности до современности. Очерки истории.» (Москва, Наука, 2000, 798 с.).
10. Daremberg, «Histoire des sciences médicales» (П., 1966).
11. З.С. Смирнова, Л.М. Борисова, М.П. Киселева и др. Противоопухолевая активность соединения ЛХС-1208 (N-гликозилированные производные индоло[2,3-а]карбазола) // Российский биотерапевтический журнал 2010. № 1. С. 80.